Regime de Juros Compostos ~ H$S

Fotografia: Daniel Sancho - HP Family (Flickr, CreativeCommons)

Antes de prosseguir a leitura deste post veja os conceitos básicos apresentados anteriormente em Regime de Juros Simples. Agora vamos estudar o Regime de Juros Compostos ou Capitalização Composta. A matemática utilizada avança para exponenciação, radiciação e logaritmo natural (base e ou Euller) ou neperiano (e = 2,718281828459045...). Para resolver os problemas de capitalização composta você precisa conhecer as propriedades de cada modelo matemático ou utilizar uma Calculador Financeira, como a HP12c (link afiliado).

Regime de Juros Compostos

Utilizando os mesmos valores do exemplo simples, vamos simular um exemplo composto. Suponha que você tenha comprado um Título de Dívida no valor de R$ 3.000,00 com capitalização mensal de 5% am (ao mês) com vencimento em 12 meses. Dessa vez, a base de cálculo não é mais o Capital (Valor Presente) investido e sim o Valor Futuro, ou seja, o Montante de cada mês capitalizado. Assim, o montante do mês n se torna o Valor Presente (PV) ou a nova base de cálculo para encontrar o juro do mês. Agora a Taxa de Juros proporcional (i% am = 12.i% aa) já não é mais equivalente, pois para uma taxa de 5% am teremos uma equivalência com 79,6% aa. Já não é mais possível utilizar uma calculadora comum, requerendo uma calculadora financeira. Veja o gráfico abaixo:

n	ao mês	C (PV)	JUROS (5%)	M (FV)
1	JANEIRO	R$ 3.000,00	R$ 150,00	R$ 3.150,00
2	FEVEREIRO	R$ 3.150,00	R$ 157,50	R$ 3.307,50
3	MARÇO	R$ 3.307,50	R$ 165,38	R$ 3.472,88
4	ABRIL	R$ 3.472,88	R$ 173,64	R$ 3.646,52
5	MAIO	R$ 3.646,52	R$ 182,33	R$ 3.828,84
6	JUNHO	R$ 3.828,84	R$ 191,44	R$ 4.020,29
7	JULHO	R$ 4.020,29	R$ 201,01	R$ 4.221,30
8	AGOSTO	R$ 4.221,30	R$ 211,07	R$ 4.432,37
9	SETEMBRO	R$ 4.432,37	R$ 221,62	R$ 4.653,98
10	OUTUBRO	R$ 4.653,98	R$ 232,70	R$ 4.886,68
11	NOVEMBRO	R$ 4.886,68	R$ 244,33	R$ 5.131,02
12	DEZEMBRO	R$ 5.131,02	R$ 256,55	R$ 5.387,57
C	C + J = M	R$ 3.000,00	R$ 2.387,57	R$ 5.387,57

Em palavras, a base de calculo é atualizada em cada capitalização, de modo que o Capital (PV) considerado para o mês de fevereiro é o montante (FV) de janeiro e assim por diante. Agora, Para encontrarmos o lucro ou o rendimento do capital que é o Juro capitalizado nós, em vez de multiplicarmos o período n como no regime simples, elevamos à potência. A fórmula de Juro então fica assim:

J = PV.[(1+i)ⁿ-1]

onde,

J = Juro ou Desconto Racional
PV = Valor Presente (Montante da capitalização anterior) ou Capital Inicial (C)
i = Taxa de Juros Efetiva
n = Tempo ou Período, representa a quantidade de capitalizações

Como em juros simples a fórmula do Montante é M = C + J mas agora temos uma nova fórmula de J que, ao substituir, teremos uma nova fórmula M (FV):

FV = PV.(1+i)ⁿ

onde,

FV = Valor Futuro ou Montante, que é o Capital base de cálculo como Valor Presente (PV)
PV = Valor Presente ou Capital (C) Inicial, que é o Montante do período anterior
i = Taxa de Juros Efetiva
n = Tempo ou Período, representa a quantidade de capitalizações

Calculando na HP12c teríamos:

Calculadora Financeira HP12c Gold (link afiliado)

Digite o valor do Título: 3+0+0+0 aperte CHS (inverte o sinal, pois você está gastando este valor) + PV (registra -3000 como Valor Presente)
Digite o índice da taxa de juros: 5 aperte o botão i (registra uma taxa de juros de 5%)
Digite o período de capitalização: 1+2 aperte n (registra 12 capitalizações)
Calcule o Montante (M) ou Valor Futuro (FV): aperte FV (resultado 5.387,57)

Para cacular o Juros ou lucro basta calcular a diferença entre FV e PV, ou seja, 5.387,57 menos 3.000,00 igual 2.387,57 como podemos ver na tabela acima.

Equivalência de Taxa de Juros

Repare que agora as taxas de juros proporcionais não são mais equivalentes. As taxas de juros equivalentes geram os mesmos montantes. Então, para o nosso exemplo, como encontrar a taxa anual equivalente a 5% am? Nós utilizamos as seguintes fórmulas (SISTEMA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL, Ernesto Coutinho Puccini - Matemática Financeira):

(1+i_a)¹ = (1+i_s)² = (1+i_q)³ = (1+i_t)⁴ = (1+i_m)¹² = (1+i_d)^360*

* em matemática financeira e em contabilidade considera-se o Período Contábil, cujo ano contábil possui 360 dias e o mês contábil 30 dias

Assim, em substituição teremos que (1+0,05)¹² = (1+i_a) = 0,7959 = 79,6% aa. Lembrando que o período da taxa de juros (am, aa...) deve coincidir com o tempo de capitalização (n). Por exemplo, quando usamos uma taxa de juros ao mês, nós capitalizamos mensalmente (FV = 3000.(1+0,05)¹²> FV = R$ 5.387,57); quando usamos uma taxa de juros ao ano, nós capitalizamos ao ano (FV = 3000.(1+0,7959)¹> FV = R$ 5.387,57). Muitas vezes os bancos apresentam uma taxa de juros anual, porém, a capitalização acontece mensalmente, assim, a taxa de juros não corresponde ao rendimento quando temos a Taxa Juros Nominal.

Taxa de Juros Nominal: a capitalização não corresponde ao período da taxa, i.e. 79,6% aa (ao ano) com capitalização mensal (Seria efetiva se a capitalização fosse anual).
Taxa de Juros Efetiva: a capitalização corresponde ao período da taxa, i.e. 5% am (ao mês) com capitalização mensal.

Outra fórmula (HOJI, Masakazu. Administração Financeira: uma abordagem prática - 5ª Edição. São Paulo: Atlas, 2004, p. 82):

i_q = (1+i)^1/q-1

onde,

i_q = taxa de juros equivalente a uma fração de determinado intervalo de tempo;
q = número de frações do intervalo de tempo considerado.

Tabela Price

A Tabela Price é um sistema de amortização (parcelamento de dívida em que cada parcela contém parte da devolução do capital emprestado e parte do juro devido) comumente utilizado pelos bancos cujo modelo de prestação ou parcelamento é uniforme, ou seja, é um Sistema de Prestação Constante (SPC) com duas particularidades:

A prestação (pagamento de parcelas [PMT]) é obrigatoriamente mensal, enquanto que no SPC você pode pagar trimestralmente, quadrimestralmente, semestralmente etc.
A taxa de juros dada é uma Taxa Anual Nominal, sendo a taxa efetiva mensal calculada por proporcionalidade, como em juros simples, assim: i_m = i_a/12. Neste exemplo, se utilizássemos a Tabela Price a Taxa de Juros de 79,6% aa seria nominal com Taxa Efetiva de 6,63% am e não 5% am.

domingo, 8 de maio de 2016